如果你僅有一次投資機會，這個投資機會有50%的機率能夠賺取100萬美元的回報，但也有50%的機率，你將不會得到任何的回報，針對這個投資機會，你會願意投入多少資金呢?

雖然這個投資機會的期望值是50萬美元，但大部分的投資者所願意投資的金額卻遠比這個數字來的低，這主要是因為在這個投資機會當中，完全無法得到任何回報的機率過高。當投資者越是趨避風險，就越不可能會願意投入資金。假設對於這個投資機會，你願意投資20萬美元，根據經濟學的效用理論，這個數值便是所謂的「確定性等值」。我們可以將這個概念應用在主動型基金與被動型基金上。

並不完全與費用相關

平均而言，主動型基金的回報率會落後於被動型基金，而兩者之間的差距則是基金的管理費用。不過，這並不完全是主動型基金與被動型基金之間唯一的差異，事實上兩者之間的回報分配狀況也大不相同。以美國大型均衡型股票型指數基金為例，在該組別內的指數基金毎年的回報率皆與同類型基金平均相當接近，而且回報率大幅勝出或大幅落後的基金相當少見。相反的是，屬於美國大型均衡型股票型的主動型基金卻較可能會出現大幅偏離基準指數的回報表現。

因此，對於想要獲取同類型基金平均水平的回報率的投資者而言，指數型基金確實是一項良好的投資工具。

我們更進一步檢視過去10年內繼續存續的美國大型均衡型股票型基金（包含主動型以及被動型基金）的回報表現狀況，發現在過去的10年內，682檔主動型美國大型均衡型股票型基金的回報率的中位數為5.64%，而169檔指數基金的中位數則為5.97%。這兩者之間相差0.33%，倘若投資者的初始投資金額為1萬美元，那麼在這10年內所獲取到的回報便會相差548美元。

雖然從中位數的角度來看，這樣的金額並不是相差太大，但相較於指數型基金，主動型基金回報率的分配卻較為分散。表現最差的5%的主動型美國大型均衡股票型基金的回報率平均為3.21%，而最佳的5%的回報率則為8.18%。而表現最差的5%的美國大型均衡股票型指數基金的回報率平均為5%，而表現最佳的5%的指數基金的回報率則為7.01%。我們假設投資者的風險趨避程度位於平均水平，在這樣的情況下，我們計算出主動型基金的確定性等值為5.06%，而被動型基金的確定性等值則為5.89%。換句話說，將風險趨避以及主動型基金回報率分配較為分散這兩個因素納入考量之後，我們發現被動型基金更加能夠擊敗主動型基金。

密切關注風險

基本上，確定性等值本身會針對基金回報率的分散狀況進行調整，這正就是衡量風險後對回報率做出的調整。而這樣的概念也與Morningstar風險調整後回報相當類似，因為Morningstar風險調整後回報也是根據下跌風險（以波幅計算）來調整基金的回報率。不過，Morningstar風險調整後回報是一個時間序列，會將基金的過去的風險數值從回報率中扣除掉。也就是說，一檔基金過去的回報波動程度越高，其Morningstar風險調整後回報便會越低。舉例來說，Vanguard 500 Index Admiral（VFIAX）基金過去10年的年化回報率為6.32%，Morningstar風險調整後回報則為1.8%。這兩個數值之間會有顯著的差距，主要是因為該基金的標準差高達16%。相較之下，PIMCO Total Return Institutional（PTTRX）這檔基金過去10年的年化回報率為7.1%，Morningstar風險調整後回報為5.02%。這兩個數值之間的差距較小，因為該基金回報率的標準差僅有4%。事實上，債券的波幅也通常會較股票來的小。

正如同我們將確定性等值的概念應用在基金回報率的方式一樣，我們也可以將這個概念應用在Morningstar風險調整後回報上。在經過計算過後，我們發現主動型的基金Morningstar風險調整後回報的確定性等值為負的0.04%，而被動型基金則為1.38%。因此，我們發現在針對風險進行懲罰之後，被動型基金具有較大的優勢。

不過，上述的分析存在著一個缺點，就是投資者並不會隨機選擇所欲投資的基金，而是會選擇投資於表現較佳的基金，但我們可以藉由檢視基金的資產加權回報率，將這個因素納入考量。而在經過計算過後，我們得知過去10年主動型管理基金的資產加權回報率為5.41%，而被動型管理基金的資產加權回報率則為6.38%。